本文是一篇软件工程硕士论文，本文依托动力学分析理论与方法，对两类含时滞的拥塞控制模型进行了全面而深入的稳定性研究。
1绪论
1.1研究背景
随着网络科技的进步，网络在社会各个重要领域得到广泛应用。在通信领域，网络是实现信息交流和远程通信的基础。商业领域则通过网络实现电子商务和在线支付等关键业务。教育领域借助网络极大的拓展了教学范围，支持远程教育和视频指导等多种灵活形式。科学研究方面，利用网络可以实现数据共享和远程实验等创新方式。此外，在航空航天、政府服务以及医疗保健等诸多领域中，网络也扮演着不可或缺的角色。除此之外，还涌现出各种新型网络，其中包括高效的数据中心网络[1]、提供超高速数据传输的5G/6G无线网络[2]、智能互联的车联网[3]以及灵活高效的无人机网络[4]等，它们共同推动着网络通信技术的不断进步。网络在各个领域都发挥着重要的作用，因此对其服务质量和稳定性提出更高要求。稳定性是确保网络正常运行的关键保障，一旦失去稳定性，就会导致拥塞问题加剧。为了避免网络拥塞，就必须充分考虑网络拥塞的产生原因，以及影响网络正常运行的各个参数。在网络中存在一个重要参数——时延，它在实际应用中很难避免，并且其数值会对网络稳定性产生影响。当通信时延过长时还会导致数据包丢失、乱序等问题。
根据中国互联网信息中心（CNNIC）在2024年3月发布的第53次《中国互联网络发展状况统计报告》，截至2023年12月，我国网民规模已达10.92亿，较2022年12月新增网民2480万人，互联网普及率达77.5%[5]。在我国互联网高度普及的背景下，对网络服务提出了更高要求。当前的网络服务仍有不足之处，在多用户场景中存在分组无法及时处理的情况。为解决此问题，路由器会对这些分组进行排序，并将未能及时处理的分组暂存于缓存区排队。这个过程中，如果某个分组等待时间过长，并且新的分组陆续到达，路由器的缓存区空间就会被耗尽，此时，路由器通常会选择丢弃一些新到达的分组[6]。如果这种状态持续时间过长，就会对网络的正常运行造成巨大的影响，例如会出现整个区域的网络性能急剧下降等严重后果。这种网络堵塞的状况就叫做网络拥塞[7]。
1.2国内外研究现状
1.2.1网络拥塞现象
在当今高度互联的网络环境中，网络拥塞已成为一个普遍且亟待解决的问题[22]。网络拥塞不仅会降低数据传输的效率，还会导致数据丢失、时延增加，严重影响用户的网络体验。随着互联网的快速发展和用户对网络服务质量要求的不断提高，如何有效控制和缓解网络拥塞现象已成为网络研究领域的热点之一。
网络拥塞的产生往往源于多个因素的综合作用，包括网络资源的有限性、用户需求的多样性以及网络结构的复杂性等[23]。当网络中的数据流量超过网络的承载能力时，就会出现数据排队、等待处理的现象[24]，进而导致网络拥塞。这种拥塞不仅会影响当前的数据传输，还可能引发连锁反应，导致整个网络性能的下降。
为了应对网络拥塞问题，研究者们提出了多种控制策略[25]。其中，TCP/AQM拥塞控制模型是一种较为成熟且有效的策略。该模型主要包含两个核心组件：一是基于源节点的TCP拥塞控制协议，二是基于接收端的主动队列管理策略。TCP拥塞控制协议最早由Jacobson提出，其核心在于利用滑动窗口机制来动态调整数据传输速率，从而有效管理网络中的数据流，避免网络拥塞。具体来说，当网络出现拥塞迹象时，如队列长度过长、缓存区内存不足等，源节点会减小TCP窗口和发送数据的速率，以降低网络压力；而当网络状况良好时，源节点则会增大TCP窗口和传送速率，以提高传输效率。这种动态调整机制使得TCP协议能够在一定程度上自适应网络状况的变化，有效缓解网络拥塞问题。
2拥塞控制系统动力学分析理论
2.1网络拥塞及成因
在网络中，网络资源是有限的，能承受的网络传输资源也是有限的。当网络用户数量增加以及使用流量增大时，到达路由器的分组数量也会持续增多。如果路由器无法及时处理这些分组，就会导致网络性能急剧下降，这种情况被称为拥塞。
如图2.1所示，当网络中的流量负载较小时，链路中分组可以正常到达，这时网络中的吞吐量和网络负载成正比，表明网络位于拥塞避免区域；当网络中用户增多时，流量迅速增大，直到负载和吞吐量到达膝点时，路由器处理分组变慢，网络吞吐量的增长态势也趋于平缓，此时网络属于轻度拥塞状态；当网络负载到达崖点时，网络的吞吐量急剧下降，网络性能急剧恶化，网络即进入拥塞状态，此时应当尽快采取拥塞控制措施，避免负载继续增加最终导致网络进一步拥塞崩溃。
2.2稳定性分析理论
从控制学角度来看，TCP/AQM拥塞控制系统可以被看作是一个由TCP算法和AQM算法组成的一个闭环反馈系统。
由图2.2可以看出，系统中两个算法之间存在通信时延，在研究含时滞拥塞控制系统时，要考虑时滞对系统的影响。那么，在研究TCP/AQM拥塞控制系统的稳定性时，就必须考虑一个含时滞的拥塞控制系统。并且，研究含时滞的泛函微分方程的解与常微分方程的解在本质上有很大区别。因此研究含时滞的TCP/AQM拥塞控制系统的动力学特性具有重要意义。这类研究可以帮助认识通信时延对网络的影响，不仅可以更好的了解网络的内部结构，更能为拥塞控制算法的实际应用提供强有力的理论依据。在研究含时滞的网络拥塞控制系统的稳定性之前，首先需要了解一下研究所需的基本原理和知识。
时滞微分方程（DDE）是一种泛函微分方程，它说明了整个系统状况的变化，不仅仅取决于当前的状况，还取决于过去某段时间的整个系统状况，这种现象在现实世界中普遍存在，它可以用来说明动态系统的行为，以及它们之间的关系，从而更好地理解整个系统的运行机制和行为模式。
3 单时滞网络拥塞控制系统动态分析算法 ..................... 19
3.1 系统平衡点计算 ............. 19
3.2 局部稳定性 .................................. 20
3.3 分叉周期解计算 ................. 21
4 二时滞拥塞控制系统稳定性分析 ...................... 37
4.1 二时滞拥塞控制模型 .................. 37
4.1.1 问题描述 ........................... 37
4.1.2 二时滞网络拥塞控制系统 ................ 38
5 总结与展望............................. 51
5.1 总结 ................................... 51
5.2 展望 ............................ 52
4二时滞拥塞控制系统稳定性分析
4.1二时滞拥塞控制模型
4.1.1问题描述
目前，尽管在研究二时滞对系统稳定性影响方面已有一定进展，但仍然存在广阔的深化和提升空间。Hwang等人[49]对具有两个时滞的系统进行了稳定性分析，他们通过理论推导和数值模拟相结合的方法，探讨了不同参数取值对稳定性切换曲线的影响。这些研究成果为我们理解二时滞网络拥塞控制系统的稳定性机制提供了宝贵的理论基础和启示。
在此基础上，本部分的主要工作进一步深入，致力于求解二时滞拥塞控制系统的稳定性区间。通过分析系统的特征方程，结合时滞系统的稳定性理论，推导出了系统稳定的充分条件，得到了系统的穿越频率集和稳定性切换曲线的计算公式。同时，为了更直观地展示稳定性与参数之间的关系，还通过实例仿真绘制了稳定性切换曲线。这些曲线清晰地展示了在不同参数组合下，系统稳定性的变化趋势，为实际网络拥塞控制系统的设计和优化提供了有力的理论支持。
在了解了二时滞拥塞控制系统稳定性区间求解方法及其重要性后，本章接下来将具体聚焦于一个实际的二时滞网络拥塞控制系统模型。这个模型不仅涵盖了复杂的网络结构，还涉及了多个源节点和链路之间的相互作用。通过深入分析这一模型，可以更直观地理解时滞如何影响系统的稳定性，并进一步探索如何在实际应用中优化网络拥塞控制策略。接下来，将详细阐述这一二时滞网络拥塞控制系统的构成，为后续的稳定性分析奠定坚实基础。
5总结与展望
5.1总结
网络拥塞控制系统在网络架构中扮演着核心角色，它通过精准调控数据传输速率，确保了网络流量的顺畅传输，进而提升了网络的整体性能与效率，为网络服务质量提供了坚实保障，并维护了网络的稳定性，以支持多元化的网络应用需求。对网络拥塞控制系统的非线性动态特性进行深入剖析，对于揭示网络的性能特征与可靠性至关重要。鉴于时滞参数对网络拥塞控制系统的稳定性具有显著影响，因此，对含时滞的拥塞控制系统展开稳定性分析，既具有深远的理论价值，也具有重要的实际意义。本文依托动力学分析理论与方法，对两类含时滞的拥塞控制模型进行了全面而深入的稳定性研究，具体成果如下：
（1）针对单时滞TCP/AQM拥塞控制系统的流体流模型，本文创新性地提出了一种临界时滞的解析显式计算公式，并在此基础上个进行了详尽的稳定性分析。首先，建立了该系统的微分方程模型，得到了系统的平衡点。随后，运用分解方法，计算纯虚根，并确定了根轨迹的穿越方向。基于这两项分析，推导出了临界时滞的解析显式公式，该公式直接与系统参数相关，从而将系统的不稳定根个数计算问题被转为一个临界时滞的函数运算问题，显著降低了系统稳定性判据的保守性，并得出了稳定性的充要条件。最后，进行示例计算并构建仿真实验来验证本文所提出的公式准确性。实验结果表明，本文所提公式可以确定系统稳定性的临界时滞，获取系统时滞稳定性区域。
（2）针对单时滞TCP/AQM拥塞控制模型，在讨论局部稳定性的基础上进行了分叉分析。针对分叉问题，提供了与系统和时滞参数直接相关的
