本文是一篇工程硕士论文，本文主要采用了加权schatten p-范数和加权截断核范数两种有效的替代方法来解决传统核范数会造成低秩解偏差的缺点，利用图像组矩阵的稀疏先验进行优化较好的提高了CT图像成像质量。
第一章 绪论
1.1研究背景和研究意义
众所周知，在现在的互联网信息时代中，信息有图像，音频，视频，文字信息这四种传播形式，而图像能够给人们传递最直接有用的信息，是目前最重要以及使用最广泛的信息获取手段，成为了人们生活，工作等各个方面都必不可少的一部分，图像所带来的视觉体验也深深的影响着我们对外界事物的认知，图像相比于其他传播形式更容易让我们理解和记忆，有学者研究表示，人们在记忆事物的时候，是从眼前每个图形组合成一幅大脑可以认知和理解的完整图像。
优质的图像往往包含着更多有用的信息，在各个不同的领域都发挥着非常重要的作用，如：医学，遥感，视频监控等领域。在医学领域，现在最重要的同时也是使用最多的临床疾病的诊断手段之一是计算机断层扫描（CT）[1]，CT由于其检查方便，迅速，无创性的优点更容易被患者所接受，而清晰的CT图像解剖关系明确，更适宜于病变的显示，有效的帮助医生进行病理诊断，保障患者的健康。图1.1为医学CT图像案例，图（a）为腹部图像，图（b）为骨盆图像。
1.2国内外研究现状
在医学图像领域，现在医学界最重要的同时也是使用最多的临床疾病的诊断手段之一是计算机断层扫描（CT）。研究表明，当人体长时间暴露在X射线下会诱导一些疾病的发生，这恰恰对人体健康起到了相反的作用[1]。当医生通过控制仪器来减少X射线的照射，使X射线的剂量达到人体所能承受的程度时，我们获得的CT图像往往没有大剂量X射线照射获得的CT图像质量高。所以在这种前提条件下，我们的目的是将已获得的低质量CT图像从算法的角度出发重建成高质量的CT图像，这其实也是目前研究的重点和难点。本节主要介绍医学图像重建算法的国内外研究现状，将先从介绍传统的图像重建算法出发，继而介绍应用图像先验知识的图像重建算法，最后介绍结合低秩估计理论的图像重建算法。
1.2.1 传统的图像重建算法
传统的滤波反投影算法（FBP）[15,16]虽然能重建一定质量的CT图像，但是此方法重建图像有一定的限定条件。当采样率高的情况下，能重建出质量较高的图像，但是当在低采样率的前提下，重建出的图像质量较差，含有比较多的噪声。为了克服FBP算法的缺点，大概提出了两类算法，第一种算法是可以从测量数据集插值的数据区域来进行分析重构，但是这种方法的局限性比较大，此方法虽然对于成像对象是特定的或者扫描数据是已经特定的这两种配置情况更为有效，但它更失一般性，无法笼统的适用于所有的成像对象。为了进一步提高CT图像重建质量，有学者提出了另一种算法即基于迭代的算法，很多迭代算法已经被用于图像重建中，并取得了一定的效果，使用迭代的算法就可以从有效可用的测量数据中来求解图像的数据模型，但是不同的迭代算法会有不同之处，它们的不同之处就在于它们对图像函数施加的约束，它们寻求最小化的代价函数，以及迭代方案的实际实现。常用的迭代算法有基于ART的方法[17]，基于SART的方法[18]，还有EM算法[19,20]。基于ART的算法要求测量数据必须完整，也需要均匀分布，但是在实际测量过程中，有时无法测到大量的投影数据，所以重建图像的质量也不高。基于SART的迭代方法仅仅利用了测量模型，虽然在一定程度上可以重建出图像，由于测量数据也是不完整的，因此重建结果往往含有较多的噪声和伪影。
第二章 基础理论和知识概述
2.1压缩感知理论
当我们将模拟信号转化为数字信号时，必须要经过采样的过程，而奈奎斯特采样定理指出只有当采样频率大于信号最高频率的两倍时，经过采样后的数字信号才能比较完整的保留原始模拟信号中的相关信息[49]。但在2004年，有学者经过证明指出如果采用远低于奈奎斯特采样定理所要求的采样点来进行重建的话，也可以得到比较好的效果，但这有一个前提条件就是信号要是稀疏的[50]。在2007年这个“压缩感知”概念被正式提出。压缩感知理论由三部分组成[50]：稀疏性，压缩采样和重构信号，图2.1是压缩感知理论的原理框图，下面将分别进行阐述。
2.1.1 稀疏性
在信号处理学界中，如何获得信号更为简洁的表示方式以及如何高效的处理各种信号，我们常用解决办法之一就是采用信号的稀疏表示[51,52]。因为在自然界中，大多数的信号都是冗余的，都具有稀疏的特性，即信号中大多数都接近或者就是零，少部分才是非零的，即使信号在一个域中不是稀疏的，通过一定的变换后在另一个域中也是稀疏的。而信号的稀疏表示即在给定的过完备字典中用尽可能少的原子来表示信号。
2.2非局部自相似性
图像的局部自相似特性[62]指的是当前块的上下左右有着连续性分布的特点，一般指的是与当前所指块有重叠或者相邻的块，这样对于分析图像特性具有一定的局限性。而图像的非局部自相似特性是指一般用欧式距离衡量的与当前块在内容和结构上有相似性的图像块，非局部自相似性的块不一定与当前块相邻或者重叠，是通过一定的搜索得到的，其本质是图像中存在着非常多的重复结构以及冗余的信息，非局部的像素或者图像块之间在内容和结构上存在着一定的相似。以下图2.4为例，这是一幅人体腹部图像，其中蓝色框表示目标小图像块，而以一定的欧氏距离可以在红色框区域的图像中搜索到很多与蓝色目标小图像块在内容和结构上具有相似性的图像块。
图像的非局部自相似性这一特性已经成功地应用于许多与图像相关的逆问题中并且得到了有效的重建效果[63,64]，包括去噪、去模糊、图像重建等问题，而这一特性也是本文主要考虑的图像特性之一。
第三章 基于加权𝒍𝒑核范数正则化的CT图像重建 ..................................... 23
基于SART和图像重建技术的稀疏采样CT成像模型 .......................... 23
3.1.1 CT成像模型 ............................. 23
3.1.2 图像组矩阵的稀疏表示 ................................. 25
第四章 基于加权截断核范数正则化的CT图像重建 ............................ 33
4.1截断核范数 .................................. 33
4.2基于加权截断核范数的𝜶子问题的求解 .................... 34
第五章 总结与展望 ............................ 44
5.1本文工作总结 ................................ 44
5.2未来展望 .................................... 45
第四章 基于加权截断核范数正则化的CT图像重建
4.1截断核范数
在第二章的基础理论中我们已经介绍了矩阵的核范数，核范数即矩阵奇异值之和，矩阵的核范数表达式为式（2.17），虽然NNM方法在低秩矩阵逼近中得到了广泛的应用，但是此算法无法精确逼近秩函数，在一些实际应用中仍然不能有效地得到低秩解。除此之外，基于NNM方法的一些算法在理论方面有一些要求例如：非相干性，而这些要求在实际应用中往往难以得到满足，因此这会导致一些基于NNM方法的算法有时可能并不收敛。为了能够改善NNM方法的劣势，Zhang Debing提出了截断核范数的概念[47]，并且截断核范数理论在各个领域都有了一定的研究[73-75]。
第五章 总结与展望
5.1 本文工作总结
计算机断层扫描（CT）是现在医学领域中最重要的同时也是使用最多的临床疾病诊断手段之一，CT主要是通过X射线对人体进行扫描成像来诊断病人病情，虽然当人体长时间暴露在设备射线下能得到更为清晰的图像，对于人体内部结构纹理也能更清楚的呈现，但是这对人体的危害也是相当大的，长时间暴露在X射线下有可能会诱导出其它病情甚至是癌症的发生，这对于人体来说是得不偿失的。所以如何在人体尽可能少受射线照射的前提下，又能提高CT成像的质量，使得图像纹理描述更清晰是研究员目前面对的问题与难点。如果通过改进成像设备来提高CT成像清晰度，需要大量的成本投入，并且技术受限。所以将已获得的低质量CT图像从算法的角度出发重建成高质量的CT图像是目前研究的主流方向。而在本文中我们主要研究了基于非局部组字典学习方法的稀疏视图CT重构的非凸低秩最小化方法。本文主要采用了加权schatten p-范数和加权截断核范数两种有效的替代方法来解决传统核范数会造成低秩解偏差的缺点，利用图像组矩阵的稀疏先验进行优化较好的提高了CT图像成像质量，本文具体工作总结如下：
（1）构造了一种将原始的稀疏编码问题转化为低秩最小化问题的模型并将其应用于CT图像重建过程。此模型将图像本身具有的两种特征：稀疏性和非局部自相似性结合起来，在构造图像组矩阵时，由于图像块之间高度相似的特性所以构造出的组矩阵具有良好的低秩特性，这使得图像重建问题转化为低秩最小化问题，简化了图像重建问题使得问题更易于求解。
（2）提出了加权𝑙𝑝核范数正则化的CT图像重建方法用于解决CT图像重建低秩最小化问题，在解决过程中应用本文所提模型，以及SART算法与ADMM计算框架等使得问题步步简化。由于考虑到传统核范数最小化方法在解决低秩最小化问题时得不到精确解，所以引入加权𝑙𝑝范数将图像重建优化问题松弛求解。并且在仿真实验中将此算法与SART，GSR-SART算法进行对比，实
